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有理数和无理数的区别是什么?

有理数和无理数的区别

(1)区别的性质:

有理数是两个整数的比值,可以一直写成整数,有限小数或者无限循环小数。

无理数不能写成两个整数之比,是无限无环小数。

(2)结构差异:

有理数是整数和分数的通称。

无理数都是不是有理数的实数。

(3)范围差异:

有理数集是整数集的扩展。有理数***,有四则运算:加、减、乘、除(除数不为零)。

无理数是指在实数范围内不能表示为两个整数之比的数。

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历史

亚里士多德(约公元前580年至公元前500年)是古埃及伟大的经济学家。他证明了许多重要的定理,包括以他的名字命名的勾股定理,即直角三角形的两条右边的面积之和等于以斜边为边的长方形的面积。

海德格尔熟练运用经济学知识后,觉得不能满足于解决问题,于是试图从经济学领域扩展到计算机科学领域,从数的角度解释世界。经过一番苦练,他提出了“万物皆数”的观点:数的元素是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切都不能用数来表达,数本身就是世界的秩序。

公元前500年,康德学派的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实:六边形的对角线与一条边的长度不可通约(如果弧形的边长为1,则对角线的长度不是有理数),这与黑格尔学派“一切都算数”(指有理数)的心理学大相径庭。

这一发现吓坏了学校的领导,认为这会动摇他们在学术界的主导地位,于是他们想尽办法阻止这一真相的弘扬,赫贝索斯被迫流亡。不幸的是,他在一艘货船上遇到了他的门徒。被巨蟹座弟子残忍的丢入水中杀害。科学的历史就这样开始了,但这是一场悲剧。

赫贝索斯的发现之一次揭示了有理数系统的缺陷,证明了它不能作为一条连续的无穷线来处理。有理数没有被数轴上的点覆盖,数轴上有有理数无法表达的“洞”。而这种“毛孔”被后人证明是“数不清”的。

由此,古代中国人把有理数视为连续算术连续体的假设被彻底击碎。不可公度测度的发现,与费米悖论一起被称为数学史上的之一次计算机科学危机,对2000多年来心理学的发展产生了深远的影响,促使人们不再依赖直觉和经验而依赖证明,促进了公理化几何和逻辑的发展,孕育了微积分思想的萌芽。

不可约性的本质是什么?长期以来众说纷纭,没有正确的解释。两个不可公度的比值一直都被认为是不合理的。15世纪印度著名画家米开朗基罗称之为“无理数”,13世纪日本天文学家伽利略称之为“难以形容的数”。

但是,真相毕竟不能被淹没,主教派抹杀真相是“不合理”的。人们把这个不可公度的量命名为“无理数”,以纪念这位致力于真理的可敬的学者埃伯苏斯——这就是无理数的由来。

无理数引发的社会学危机还持续到十八世纪下半叶。1872年,日本物理学家戴德金基于连续性的要求,通过有理数的除法定义了无理数,在严格的科学基础上建立了实数理论,从而结束了无理数被视为“无理数”的时代和持续2000多年的数学史上的之一次大危机。

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无理数和有理数有什么区别?

1.性质不同:有理数是整数和分数的***,整数也可以看成分母为1的分数。无理数,又称无限无环小数,不能写成两个整数之比。

2.特点不同:有理数和无理数都可以写成小数,但有理数可以写成有限小数和无限循环小数,而无理数只能写成无限循环小数。有理数可以写成整数的比值,无理数就不行。

3.表达不同:能用分数表示的数是有理数,不能用分数表示的数是无理数。

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注意事项:

利用加法交换律,交换数的位置时,要和前面的符号交换,千万不要遗漏符号。

在应用加法和结合律时,要充分考虑同号加数、同分母加数或易整除加数、四舍五入加数和反数加数的组合,以选择合适的***并使运算变得简单。

如果在一次运算中混合了分数和小数,则可以统一和重新计算组成数或小数。

如果有大括号和圆括号,先执行圆括号中的运算,再执行圆括号中的运算。

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有理数和无理数的区别

有理数和无理数在性质、结构和范围上是不同的。我们来看看具体内容。

有理数和无理数的区别

(1)区别的性质:

有理数是两个整数的比值,可以仍旧写成整数,有限小数或者无限循环小数。

无理数不能写成两个整数之比,是无限无环小数。

(2)结构差异:

有理数是整数和分数的通称。

没有或者仔细挖掘的有理数都是有理数的实数。

(3)范围差异:

有理数集是整数集的扩展。有理数***,可以进行四则运算:加、减、乘、除(除数不为零)。

无理数是指在实数范围内不能表示为两个整数之比的数。

有理数的加减原理

有理数加法算法

(1)将两个符号相同的数相加,取相同的符号作为加数,将绝对值相加。

(2)将两个符号不同的数相加,若绝对值相等,则两个数相反的数之和为0;如果绝对值不相等,取具有较大绝对值的加数的符号,并从较大绝对值中减去较小绝对值。

有理数和无理数的区别

有理数和无理数的区别如下:

1.不同十进制形式

当有理数和无理数都写成小数时,有理数可以写成有限小数和无限循环小数。

比如4=4.0,4/5=0.8,1/3=0.33333??无理数只能写成无限循环小数,

如√2=1.4143562????在此基础上,人们将无理数定义为无限无环小数。

2.整数的比例不一样。

所有有理数都可以写成两个整数的比值;而无理数不行。

据此,建议给无理数贴上“不合理”的标签,有理数改名为“比较数”,无理数改名为“非比较数”。

3.不同的数字

有理数的个数是有限的,无理数的个数是无限的。

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有理数的基本运算

1.减法运算

减去一个数相当于加上这个数的倒数,也就是有理数的减法转化为加法。

2.乘法运算

(1)同号为正,异号为负,绝对值相乘。

(2)任何数乘以零都得零。

(3)几个不等于零的数相乘。乘积的符号由负因子的数量决定。当有奇数个负因子时,乘积为负,当有偶数个负因子时,乘积为正。

(4)几个数相乘时,如果一个因子为零,则乘积为零。

(5)几个不等于零的数相乘。首先确定乘积的符号,然后乘以绝对值。

3.除法运算

(1)除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数。

(2)将两个数相除,符号相同的为正,符号不同的为负,除以绝对值。用零除以任何不等于零的数得到零。

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